\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

2. \(\left\{{}\begin{matrix}\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=6\\\left(yz-y\right)-\left(z-1\right)=12\\\left(zx-z\right)-\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)=12\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

Đến đây dễ rồi

1. Với mọi số thực x;y;z ta có:

\(x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(z^2+1\right)\ge xy+yz+zx+x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}P+\dfrac{3}{2}\ge6\)

\(\Rightarrow P\ge3\)

\(P_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)

1.1

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a>0\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\sqrt{2-b^2}=2\\b+\sqrt{2-a^2}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a-b+\sqrt{2-b^2}-\sqrt{2-a^2}=0\)

\(\Leftrightarrow a-b+\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\sqrt{2-b^2}+\sqrt{2-a^2}}=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào pt đầu:

\(a+\sqrt{2-a^2}=2\Rightarrow\sqrt{2-a^2}=2-a\) (\(a\le2\))

\(\Leftrightarrow2-a^2=4-4a+a^2\Leftrightarrow2a^2-4a+2=0\)

\(\Rightarrow a=1\Rightarrow x=y=1\)

2.

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=21\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+xy+y^2=7\\x^2-xy+y^2=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2+3xy+3y^2=21\\7x^2-7xy+7y^2=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4x^2-10xy+4y^2=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(2x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2x\\y=\dfrac{1}{2}x\end{matrix}\right.\)

Thế vào pt đầu

...

Đặt \(\left(x-1;y-2;z-3\right)=\left(a;b;c\right)=abc>0\)

Điều kiện bài toán trở thành :

\(a+1+b+2+c+3< 9\)

\(\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\sqrt{c+5\left(a+1\right)+4\left(b+2\right)+3+\left(c+3\right)}\)

\(=\left(a+1\right)\left(b+2\right)=\left(b+2\right)\left(c+3\right)=\left(c+3\right)+\left(a+1\right)+11+a+b+c< 3\)

\(a+b+c< 3\)

\(=\sqrt{a+\sqrt{b}+\sqrt{c}+ab+bc+ca}\)

Mặt khác, do  không âm, ta luôn có:

\(\text{⇒2√a≥a(3−a)≥a(b+c)⇒2a≥a(3−a)≥a(b+c) (1)}\)

Hoàn toàn tương tự ta có:\(\text{ 2√b≥b(c+a)2b≥b(c+a) (2)}\)

\(\text{2√c≥c(a+b)2c≥c(a+b) (3)}\)

Cộng vế với vế (1);(2);(3):

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\text{a=b=c=0a=b=c=0 hoặc a=b=c=1a=b=c=1}\)

https://olm.vn/hoi-dap/detail/227981379332.html

Bạn tham khảo ở đây nhé.

g/s

z>y>2>x

(1); xyz=8=>2>x>0

(2)<=>

y(2-x)=2y-xy<0

z(2-x)=2z-xz<0

=>xy+xz>2y+2z

zy>2x

=>xy+yz+xz>2(x+y+z)

g/s sai=>dpcm

Các bạn giúp mình với :) thanks các bạn nhiều

 Từ \(x^3+y^3+z^3=-3\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)

 Xét TH \(x=y=z\), thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có \(3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)\). Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.

 Xét TH \(x+y+z=0\), ta sẽ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) \(\Rightarrow xyz=-1\)

 Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được \(x^2y+y^2z+z^2x=-xyz\) \(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0\). Tương tự, ta có \(xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0\). Cộng theo vế 2 pt này, ta được \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\). Ta xét TH \(x+y=0\). Do \(x+y+z=0\) nên \(z=0\) và \(x=-y\), không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

 Vậy hpt đã cho vô nghiệm.

⎧​3x2+xz−yz+y2=2(1)y2+xy−yz+z2=0(2)x2−xy−xz−z2=2(3)​

Lấy (2) cộng (3) ta được

�2+�2−��−��=2x2+y2−yz−zx=2 (4)

Lấy (1) - (4) ta được

$2x\left(x+z\right)=0$

⇔[�=0�=−�⇔[x=0x=−z​

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

Nhớ tick nha

$\{\begin{array}{c}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\ y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\ x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{array}$

Lấy (2) cộng (3) ta được

$x^2+y^2-yz-zx=2$ (4)

Lấy (1) - (4) ta được

$2x\left(x+z\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=-z\end{array}$

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

Lời giải:

Từ đề bài ta dễ dàng suy ra \(x,y,z\neq 0\)

Đảo lại ta thu được hệ:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}\\ \frac{y+z}{yz}=\frac{1}{4}\\ \frac{x+z}{xz}=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(1)\\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{4}(2)\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}(3)\end{matrix}\right.\)

Lấy \(\frac{(1)+(2)+(3)}{2}\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{13}{24}(4)\)

Lấy \((4)-(1)\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{13}{24}-\frac{1}{2}=\frac{1}{24}\Rightarrow z=24\)

Lấy \((4)-(2)\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{13}{24}-\frac{1}{4}=\frac{7}{24}\Rightarrow x=\frac{24}{7}\)

Lấy \((4)-(3)\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{13}{24}-\frac{1}{3}=\frac{5}{24}\Rightarrow y=\frac{24}{5}\)

Vậy \((x,y,z)=(\frac{24}{7}, \frac{24}{5}, 24)\)